Inscrit au Barreau en 1885, il devient secrétaire de la conférence pour la promotion 1887-1888, en même temps que son confrère Fernand Labori (avocat notamment de Dreyfus et Zola) à qui il succédera au Bâtonnat.
Il obtient son doctorat en droit en 1895 et devient rapidement un avocats pénaliste : il plaide pour Gabrielle Bompard avec son amant Michel Eyraud, dans le procès de l’assassinat de l'huissier Gouffé, l'affaire de la malle sanglante de Millery ; Louis-Alfred Véron dit « Norton », auteur d'un faux destiné à nuire à Georges Clemenceau ; les époux Humbert, impliquée pour escroquerie dans l'affaire de l’héritage Crawford ; Jeanne Weber, « l’ogresse de Belleville » alors accusée de 8 meurtres ; ou encore Octave Mirbeau contre Jules Claretrie pour l'affaire dite "du Foyer", fin avril 1908. Il est également l’avocat et le conseil de la Comédie Française.
Il a créé un art oratoire nouveau en effectuant des plaidoiries sans exorde et sans péroraison. L’exposé est précis, l’analyse juridique directe et l’argument dépouillé de tout artifice.
Il est élu au Conseil de l’Ordre de 1906 à 1910 puis de 1911 à 1919. Sa fille Jeanne Henri-Robert (1893-1983) épousera en 1912 Paul Reynaud (1878-1966), président du Conseil.
Il est élu bâtonnier en 1913 ; il est d’usage qu’un bâtonnier soit élu pour deux ans ; en raison de la guerre, les élections ont été suspendues et le mandat d’Henri Robert a été prolongé durant toute la durée du conflit, si bien qu’il fut surnommé « le bâtonnier de la Grande Guerre ». Il prend alors l’engagement moral de se consacrer entièrement aux lourdes fonctions de sa charge et de ne pas plaider aux assises durant tout le cours de son bâtonnat. Il reviendra à la barre à la fin de la guerre.
Henri Robert n’a pas pu partir au front en raison de son âge (il avait 50 ans !). Il fut néanmoins l’incarnation des combats de l’arrière par l’aide matérielle et morale apportée aux soldats, à leur famille et aux victimes de la guerre.
« […] Me Henri Robert est là. Il n’a pas un jour où il n’a quitté Paris, où il était retenu par son devoir. Il ne s’agissait pas seulement de faire acte de présence pour le bon renom de l’Ordre et pour l’exemple. Il fallait, en outre, par la création de certains services dont je parlerai, mettre l’Ordre des Avocats au service de la population parisienne qui réclamait des conseils et un guide » raconte son confrère Charles Chenu dans Le barreau de Paris pendant la Guerre, Paris, 1916.
De 1914 à 1918, les fonctions d’Henri Robert sont multiples :
- il réorganise l’Ordre et ses effectifs, pour la plupart mobilisés ; il organise le bon déroulement de la Justice au sein du palais parisien.
- il s’assure que les consultations gratuites aient lieu avec l’aide des anciens non mobilisables (plus de 40 000 consultations seront données dans la période) ; il veille à l’assistance judiciaire gratuite en faveur des plus démunis. Il commet d’office les avocats devant les conseils de guerre siégeant à Paris.
- il est l’intermédiaire entre les confrères et les familles, avec la difficile épreuve de les informer de la mort de leur enfant-confrère ;
- il a également la délicate tâche de les recevoir pour écouter leurs peines et leur demande de secours ;
- il visite fréquemment ses confrères mobilisés en allant sur le front pour leur remonter le moral par ses conférences ; il organise à Noël 1914 un envoi de colis (vêtements, tabac et victuailles) aux avocats mobilisés et au front.
- il intervient diplomatiquement auprès des autorités pour faire libérer ses confrères français et étrangers ; il accorde l’asile aux confrères étrangers, particulièrement belges et roumains en leur fournissant aides et subventions ; il accueille également ses confrères du Nord de la France ayant trouvé refuge à Paris.
- il organise les hommages et les commémorations, et ce dès 1914.
En 1919, il plaidera au conseil de guerre défendant le général Fournier, gouverneur général de Maubeuge, pour lequel il obtient l’acquittement.
Il est élu à l’Académie française en 1923.
Il est l’auteur de plusieurs ouvrages.
« Le véritable chef des avocats qu’ils portent la toge ou l’uniforme, c’est toujours le bâtonnier ! »
Paul Dethomas, avocat, Mort pour la France, 7 août 1917.